摘要：介紹通過學(xué)習(xí)C++編程解決小學(xué)典型數(shù)學(xué)問題來培養(yǎng)小學(xué)高年級學(xué)生計算思維的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。首先從計算思維抽象的本質(zhì)出發(fā)，分析開展C++編程教學(xué)的抽象基礎(chǔ)；然后在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與計算思維過程的比對融合中，提出圍繞編程解決小學(xué)典型數(shù)學(xué)問題培養(yǎng)計算思維的合理性；最后介紹如何開發(fā)適合小學(xué)生計算思維培養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題編程學(xué)習(xí)實(shí)例。

　　1 引言

　　計算思維是個體運(yùn)用計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的思想方法和在形成問題解決方案的過程中產(chǎn)生的一系列思維活動。[1]計算思維的本質(zhì)是抽象。[2] 編程教學(xué)是計算思維培養(yǎng)的重要手段。目前，面向小學(xué)生的編程課程，以Scratch 一類的可視化編程和樂高機(jī)器人一類的實(shí)體設(shè)備編程為主。像C++這類注重算法學(xué)習(xí)的編程課程是比較小眾的，究其原因在于C++ 編程解決的問題較抽象、思維難度較大。筆者面向小學(xué)高年級學(xué)生開設(shè)C++編程課程，培養(yǎng)學(xué)生計算思維，嘗試將編程解決的問題與小學(xué)數(shù)學(xué)課堂典型問題結(jié)合，使得教學(xué)更“平易近人”。

　　2 開展C++編程教學(xué)的抽象基礎(chǔ)

　　瑞士知名教育學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰提出了兒童認(rèn)知發(fā)展理論。根據(jù)該理論，小學(xué)高年級兒童認(rèn)知發(fā)展正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過渡，已經(jīng)適合抽象思維的培養(yǎng)。抽象是計算思維的核心。在小學(xué)高年級通過編程培養(yǎng)學(xué)生計算思維，正是抓住了學(xué)生抽象思維發(fā)展的關(guān)鍵時期。在教學(xué)中，要提升并借助學(xué)生的形象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，最終使學(xué)生在問題解決過程中能習(xí)慣運(yùn)用計算思維。

　　小學(xué)高年級學(xué)生已經(jīng)具備了良好的語言學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。語言語法的突出特點(diǎn)是其抽象性。除了語音和詞匯均各有其抽象性，語法的抽象性是所有這些抽象基礎(chǔ)上的更高層次的抽象[3]。面向小學(xué)生的C++編程教學(xué)，一方面，要以問題解決為中心，弱化語句語法學(xué)習(xí)，減少學(xué)生因?yàn)檎Z法的抽象對問題解決感到困擾，語法學(xué)習(xí)做到夠用就行。例如，C++的循環(huán)結(jié)構(gòu)有for 循環(huán)、while 循環(huán)、do…while 循環(huán)，在實(shí)際教學(xué)中可以先只學(xué)一種for 循環(huán)，直到學(xué)生能熟練運(yùn)用，再拓展介紹其他循環(huán)語法。再例如，for 循環(huán)在實(shí)際編程中可以有很多靈活變化的寫法，教學(xué)時要盡量從最一般的格式入手，在之后學(xué)習(xí)中根據(jù)問題需要再做格式上的加減操作。另一方面，要利用好學(xué)生原有自然語言抽象概念、數(shù)學(xué)語言抽象概念，將其遷移到編程學(xué)習(xí)中，幫助學(xué)生完成二次抽象，即計算思維相關(guān)的抽象。可以讓學(xué)生將C++語法保留字作為英語單詞記憶，記住了單詞的含義也就大致理解該保留字的C++語法意義。然后，要求學(xué)生習(xí)慣用自然語言將問題解決的算法思路講出來。實(shí)踐表明，通過以上問題解決中自然語言和 C++代碼的抽象含義對應(yīng)，學(xué)生很快理解了if 語句語法，掌握速度和理解Scratch 編程相應(yīng)功能模塊無明顯差異，后者是自然語言和Scratch圖標(biāo)抽象含義的對應(yīng)。

　　3 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與計算思維培養(yǎng)

　　計算思維源于數(shù)學(xué)思維與工程思維，數(shù)學(xué)思維最大的認(rèn)知特征便是：概念化，抽象化，模式化?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提煉的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，而這些正與計算思維過程中分析數(shù)據(jù)、界定問題、分解問題、抽象特征、建立結(jié)構(gòu)模型、算法實(shí)現(xiàn)等環(huán)節(jié)高度對應(yīng)。所以，從數(shù)學(xué)問題出發(fā)在編程學(xué)習(xí)中提升計算思維能力，具備良好的遷移基礎(chǔ)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和信息技術(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)雙發(fā)展。

　　3.1 分析、界定與分解

　　分析、界定與分解是在收集、分析數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)表征、概念界定、明確問題實(shí)質(zhì)，并將一個復(fù)雜的問題分解成若干易處理的子問題的過程。教學(xué)中可以從典型數(shù)學(xué)問題出發(fā)，將問題解決過程中分析、界定與分解的思維過程進(jìn)行強(qiáng)化。例如，人教版《數(shù)學(xué)》三年級下冊的一個面積計算問題（以下簡稱例1）：客廳的長是6 米，寬是3 米；正方形地磚的邊長是3 分米；問鋪滿客廳地面一共要用多少塊地磚。經(jīng)過分析，我們可以得出問題涉及：正方形、長方形、邊長、長、寬、面積等概念，問題的實(shí)質(zhì)是與面積有關(guān)，涉及不同長度單位的換算，是整數(shù)運(yùn)算。問題可以分解為：①求客廳地面面積問題；②求地磚面積問題；③求兩個面積之間的關(guān)系問題。還可以分解為：①求客廳地面的長對應(yīng)幾塊地磚的問題；②求客廳地面的寬對應(yīng)幾塊地磚的問題；③已知客廳地面長和寬分別對應(yīng)地磚數(shù)，求總地磚數(shù)問題。

　　3.2 抽象與建模

　　抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)的特征的過程。計算思維下的抽象可以歸納為三個逐級上升的層次：概念抽象→數(shù)學(xué)抽象→計算抽象。[4]建模就是建立結(jié)構(gòu)模型，是為了理解事物而對事物做出的一種抽象，同樣可以對應(yīng)概念建模、數(shù)學(xué)建模、計算建模三個層次?；氐嚼?，之前的教學(xué)中學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)理解了正方形、長方形、長、寬、面積等抽象概念，在本問題中是把地磚抽象為邊長為3 分米正方形這個數(shù)學(xué)模型，地面抽象為長6 米、寬3 米的長方形模型。如果采用例1 中第二種問題分解方式，還需要分別從地面和地磚邊長中抽象出線段模型。

　　計算建模是要讓這個模型可以被運(yùn)算，可以交給計算機(jī)幫助運(yùn)算解決，要考慮從具體個例到一般情況的抽象泛化。

　　例1 中提供的數(shù)據(jù)符合長方形的長和寬是正方形邊長的倍數(shù)，針對這組特殊數(shù)據(jù)，可以在整數(shù)運(yùn)算范圍下，采用前面提到的兩種方式來分解問題、抽象建模。如果把問題數(shù)據(jù)一般化，可能出現(xiàn)客廳地面面積不能被瓷磚面積整除的情況，建模就要考慮小數(shù)運(yùn)算，還要從工程思維的角度分析，不湊整的面積地磚怎么拼，1/3 塊地磚算不算用掉一塊。于是在計算建模的時候，需要加上一些約束條件。如果條件保證客廳地面面積數(shù)據(jù)一定能被瓷磚面積數(shù)據(jù)整除，又會出現(xiàn)前面第一種問題分解方式在某些數(shù)據(jù)情況下不符合實(shí)際的情況，比如長6 米、寬1 米的客廳地面和3 分米邊長的地磚，雖然兩者面積可以整除，但實(shí)際鋪設(shè)的時候地磚是要切割了的。所以，圍繞典型數(shù)學(xué)問題，教師需要在教學(xué)中幫助學(xué)生鞏固相關(guān)概念，明確數(shù)學(xué)模型；要引導(dǎo)學(xué)生提煉出可運(yùn)算、一般化的計算模型。

　　3.3 設(shè)計算法

　　算法的概念源自數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)中，算法通常是指能夠使用計算機(jī)來解決的某一類問題的步驟或程序，這些步驟或程序必須是明確和有效的，而且能夠在有限步驟之內(nèi)完成。[5] 浙教版《信息技術(shù)必修一數(shù)據(jù)與計算》教材中給出廣義的概念“, 算法”是解決問題或者完成任務(wù)的一系列步驟，解決的問題不僅僅指傳統(tǒng)意義上的計算任務(wù)（算術(shù)），還可以是社會生活中各種事務(wù)的處理。在計算機(jī)學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)，“算法”指的是用計算機(jī)解決問題的步驟，是為了解決問題而需要讓計算機(jī)有序執(zhí)行的、無歧義的、有限步驟的集合，需要解決的問題包含數(shù)值計算和非數(shù)值計算的數(shù)據(jù)處理。根據(jù)廣義的算法概念，可以認(rèn)為計算思維不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)科和計算機(jī)學(xué)科，也適用于其它各個學(xué)科領(lǐng)域的問題解決過程，是一種通用思維。數(shù)學(xué)學(xué)科和計算機(jī)學(xué)科中“算法”的定義高度一致，可見，從解決數(shù)學(xué)問題出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生計算思維是一條最直接的路徑。例1 面積計算問題，在計算建模基礎(chǔ)上，分解的子問題 ①、②、③，可以設(shè)計成有先后關(guān)系、依次執(zhí)行的三個算法步驟：①→②→③或者②→①→③，每個子問題又有相應(yīng)的算術(shù)運(yùn)算步驟。

　　4 從小學(xué)典型數(shù)學(xué)問題出發(fā)的編程學(xué)習(xí)實(shí)例

　　4.1 從常用編程語法教材中發(fā)掘?qū)W習(xí)實(shí)例

　　在C++語言入門教材里一般都會用到一些小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的例題和練習(xí)題，對于大部分教材用戶，小學(xué)數(shù)學(xué)問題已經(jīng)不存在數(shù)學(xué)建模的困難，所以這些題目的作用主要是幫助熟悉C++語法，但在面向小學(xué)生的教學(xué)中，這些題目往往是開展計算思維培養(yǎng)的好素材。教師要善于把數(shù)學(xué)問題和小學(xué)數(shù)學(xué)課堂結(jié)合起來，為最終通過計算機(jī)編程解決搭建良好的思維情境。例如，判斷閏年問題是編程常用例題，教師可以從人教版《數(shù)學(xué)三年級下冊》第六課“年、月、日”找到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。教學(xué)中可以結(jié)合數(shù)學(xué)教材，完成閏年等概念抽象，同時明確什么是判斷閏年問題。接著，通過分析閏年形成的原因，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)教材里判斷閏年的規(guī)則“公歷年份是4 的倍數(shù)的，一般都是閏年；但公歷年份是整百數(shù)的，必須是400 的倍數(shù)才是閏年”。下一步，把年份抽象成一個數(shù)字，問題就轉(zhuǎn)換為對年份數(shù)字的判斷，完成計算建模。將閏年判斷規(guī)則整理為可操作的算法步驟：判斷年份數(shù)字能被4 整除但不能被100 整除，或者判斷能被400 整除。最后，用C++代碼實(shí)現(xiàn)，語法要求并不高，套用IF 語句格式就行。另外，像“雞兔同籠”問題也是很好的例題，人教版數(shù)學(xué)教材里先讓學(xué)生通過列表分析“雞、兔、腳”之間的關(guān)系，所以編程教學(xué)中需要從枚舉算法入手，之后可以拓展解析算法，這樣會更符合計算思維解決問題的過程。

　　4.2 從小學(xué)數(shù)學(xué)教材入手開發(fā)學(xué)習(xí)實(shí)例

　　教師可以從數(shù)學(xué)教材中找適合運(yùn)用計算思維的問題實(shí)例。例如，人教版《數(shù)學(xué)五年級上冊》第七節(jié)“植樹問題”。植樹問題是指在一定的線路上，根據(jù)總路程、間隔長和棵數(shù)進(jìn)行植樹的問題。編程解決的問題簡單描述為“總路程為L米的馬路，在一邊每間隔S米種M棵樹，一共要種幾棵樹”。抽象建模：樹用點(diǎn)來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的點(diǎn)與被均分的線段之間的關(guān)系問題。算法設(shè)計：根據(jù)問題描述，如果線段兩端都植樹，計算公式：總數(shù)=(L÷S+1) ×M。代碼編寫只要定義相應(yīng)int類型變量，順序結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)。

　　可以對教材中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行拓展。例如，植樹問題進(jìn)行拓展，描述為“長度為L米的馬路上有一排樹，樹從頭到尾間隔1 米種植，現(xiàn)在馬路中的一段要建十字路口，要把從A米起到B米之間的樹移走，問還有多少棵樹”。抽象建模仍然是線上的點(diǎn)與被均分的線段之間的關(guān)系問題。算法可以0到A- 1的線段上點(diǎn)的個數(shù)加上B+1到L的線段上點(diǎn)的個數(shù)，也可以是0到L的線段上點(diǎn)的個數(shù)減去A到B的線段上點(diǎn)的個數(shù)。

　　將上述植樹問題再進(jìn)一步拓展，就是一道經(jīng)典的全國信息學(xué)奧林匹克聯(lián)賽試題“校門外的樹”（NOIP2005 普及組第二題），問題簡單描述：某校大門外長度為L米的馬路上每間隔1 米種著一棵樹，把馬路看成一個數(shù)軸，即數(shù)軸0 到L的位置都種有一棵樹，馬路上有一些區(qū)域要用來建地鐵，這些區(qū)域用它們在數(shù)軸上的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的坐標(biāo)表示，這些坐標(biāo)都是整數(shù)，區(qū)域之間可能有重合的部分，現(xiàn)在要把這些區(qū)域中的樹移走，問馬路上還剩多少棵樹。問題拓展到這里，學(xué)生對其數(shù)學(xué)模型已經(jīng)很清楚了，但在計算的時候如果分別考慮地鐵區(qū)域的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)坐標(biāo)，一段一段來計算會十分復(fù)雜。計算建?？梢钥紤]按建地鐵區(qū)域要求將所有樹都移走后數(shù)軸的最終狀態(tài)，0 到L 的數(shù)軸上一些點(diǎn)有樹一些點(diǎn)沒有。所以，C++編程中定義長度為L的數(shù)組，模擬這個數(shù)軸狀態(tài)變化就行。

　　5 結(jié)束語

　　C++語言在小學(xué)被認(rèn)為是編程界面枯燥、學(xué)習(xí)難度大的一種編程語言。筆者認(rèn)為，字符化編程界面并不是孩子們?nèi)鄙倥d趣的原因，看煩了都市五顏六色的霓虹，你會發(fā)覺寂靜夜空的美麗。編程學(xué)習(xí)中的抽象和算法設(shè)計的復(fù)雜，才是真正讓孩子們感到困難的，而這些正是計算思維培養(yǎng)的最核心內(nèi)容。對于小學(xué)高年級的孩子來說，在編程學(xué)習(xí)中過多地將時間花費(fèi)在如Scratch 圖形對象的設(shè)計上或者機(jī)器人編程硬件設(shè)備的組裝上，而問題本身的算法難度不提升，那么，一則培養(yǎng)效率低下，二則會阻礙孩子抽象能力的發(fā)展。從小學(xué)數(shù)學(xué)問題出發(fā)在小學(xué)高年級開展編程教學(xué)是計算思維培養(yǎng)一條順理成章之路。

　　參考文獻(xiàn)：

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　　[2] 劉敏娜，張倩葦．國外計算思維教育研究進(jìn)展[J]．開放教育研究，2018(2)：41-53．

　　[3] 張定京．語法的抽象性——哈米提·鐵木爾先生語法學(xué)思想的關(guān)鍵點(diǎn)[J]．雙語教育研究，2017，3(4)：2．

　　[4] 李曉明．從趣味數(shù)學(xué)到趣味算法到趣味編程——非專業(yè)學(xué)習(xí)者體會計算思維的一條途徑？[J]．計算機(jī)教育， 2020(11)：1-3．

　　[5] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書．?dāng)?shù)學(xué)3（必修）A版 [M]．北京：人民教育出版社，2014．

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