羅 佳

　?。ňd陽中學實驗學校）

　　【摘要】數(shù)形結合思想貫穿著整個高中數(shù)學內容的始終，同時它在高考中占有非常重要的地位。所謂數(shù)形結合思想，就是在研究問題時把數(shù)和形結合起來考慮。通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，能夠使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。在應用數(shù)形結合思想方法的同時注意遵循等價性原則、雙向性原則、簡單性原則。

　　【關鍵詞】數(shù)形結合思想方法；數(shù)學解題；應用策略

　　中圖分類號：G652.2 文獻標識碼：A 文章編號：ISSN1003-7667（2021）08-010-01

　　一、引言

　　數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，是數(shù)學知識的高度概括，是學生解決問題的手段。最常用的數(shù)學思想有函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想。其中，數(shù)形結合思想在數(shù)學中的地位尤為重要，是數(shù)學思想方法的精髓之一。我國著名數(shù)學家華羅庚先生撰寫的《談談與蜂巢的結構有關的數(shù)學問題》用一首詩完美的闡述了數(shù)形結合的價值和本質，即“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離。”數(shù)形結合思想的應用十分廣泛，運用數(shù)形結合思想可以解決高中數(shù)學中的與集合、函數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、向量、線性規(guī)劃、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等有關的問題?？v觀歷年高考題，數(shù)形結合思想在歷年高考題中的體現(xiàn)逐漸加強。高中數(shù)學教學應該培養(yǎng)學生數(shù)形結合的解題思想，使學生在解題時有效的運用數(shù)形結合思想，做到舉一反三、觸類旁通。

　　二、數(shù)形結合方法的應用原則

　　數(shù)形結合的思想方法中數(shù)與形相互轉化時，要借助于基本的知識和方法才能實現(xiàn)，如果對基本知識和方法了解不深刻，就會容易犯錯。高中數(shù)學教學應用數(shù)形結合思想方法需要掌握以下原則。1．等價性原則在數(shù)形結合的過程中，數(shù)和形的轉化要遵循等價原則，即數(shù)和形所反應的對應關系是一一對應的。注意轉化過程要等價，避免定義域擴大或縮小。在畫圖時，注意對交點，極大(小)值點，最大(小)值點，數(shù)軸等的精確描繪。2．雙向性原則在運用數(shù)形結合思想解題時，進行幾何直觀分析時應該與代數(shù)計算相結合，“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，用直觀的幾何反應抽象的公式，用精確的代數(shù)規(guī)范幾何圖形。3．簡單性原則“以形助數(shù)”進行由數(shù)到形的轉換時，應盡可能使構造的圖形簡單、易懂。“以數(shù)解形”在代數(shù)計算中盡量避免繁瑣復雜的計算。

　　三、數(shù)形結合思想解決的問題

　　數(shù)形結合思想是高中數(shù)學教學中解題的主要方法之一，下面是利用該方法可以解決的高中數(shù)學問題。(1)解決集合問題。在關于集合之間的關系和運算的教學中，使用Venn圖是重要的，有助于學生學習、掌握、運用集合語言和其他數(shù)學語言。(2)解決函數(shù)問題。函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型。要求掌握幾種不同增長的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反函數(shù)等)，另外，數(shù)形結合還可以解決函數(shù)和方程的解的問題。(3)解決方程與不等式問題。處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)的交點問題;處理不等式時，從題目的條件和結論出發(fā)，聯(lián)系相關函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。(4)解決三角函數(shù)問題。單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀，可以使學生更好地理解三角函數(shù)的概念和性質，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。(5)解決線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值的問題，在解題時注意運用數(shù)形結合思想。(6)解決數(shù)列問題。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式和前n項和的公式可以看作關于正整數(shù)n的函數(shù)，借助函數(shù)圖像對數(shù)列進行直觀分析。(7)解決解析幾何問題。解析幾何的本質是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質。解析幾何的研究對象是幾何圖形(平面解析幾何研究的是曲線)，研究方法是用代數(shù)方法研究幾何解析幾何所要解決的主要問題有兩個:一是根據(jù)結合幾何性質求出曲線的方程，這體現(xiàn)了幾何向代數(shù)的轉化;二是根據(jù)方程研究曲線，這體現(xiàn)了由代數(shù)向幾何的轉化。(8)解決立體幾何問題。教師可以使用具體的長方形的點、線、面之間的關系作為載體，使學生在直觀感知的基礎上認識空間中的一般的點、線、面之間的位置關系，通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關系的基本性質和判定方法。立體幾何中用坐標的方法將點、線、面的性質和相互關系的問題轉化為純粹的代數(shù)問題。

　　四、數(shù)形結合思想在高中教學中的典型應用

　　講求函數(shù)的值域問題轉化為幾何圖形問題，把利用幾何圖形的性質把結論還原到函數(shù)問題。此題最關鍵的是對函數(shù)的轉化，如果學生對距離公式有比較深刻的認識，那么就能夠解出這種類型的題。分析:通過已知，在坐標上畫圖，在解題時設的未知量在圖像中用輔助線表示出來，再將所得的未知點帶入方程中，求得結果即可，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。向量具有兩個明顯的特點—“形”的特點和“數(shù)”的特點，這就使得向量成了數(shù)形結合的橋梁，向量的坐標實際是把點和數(shù)聯(lián)系了起來，進而可把曲線與方程聯(lián)系起來。這樣就可以用代數(shù)方程研究幾何問題，同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題，在教學中注意這種思想方法的運用。

　　總之，數(shù)形結合思想應用十分廣泛。在解題時對于某些較復雜的問題，可以運用數(shù)形結合思想將復雜的問題轉化為簡單的問題求解，大大簡化了解題過程，尤其在選擇題和填空題中更有其優(yōu)越性。因此，在日常的教學中，教師要注意培養(yǎng)學生應用數(shù)形結合思想的意識，靈活運用數(shù)形結合，提高解題能力。

　　參考文獻:

　　［1］徐萍．數(shù)形結合思想方法之教學研究［D］．南京師范大學，2004．

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